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Écart Type & Z-Score — Collez des nombres → moyenne/σ/z

Collez vos nombres (virgules, espaces, retours). Choisissez σ population ou échantillon. Obtenez moyenne, variance, écart type et z-scores par valeur — 100 % côté navigateur.

Données & options

Astuce : accepte virgules, espaces, tabulations, retours et notation scientifique (ex. 1e-3). Les espaces supplémentaires sont ignorés.
Agit sur l'affichage uniquement.
Utilise la moyenne et le σ de l'ensemble actuel.

Astuce : après calcul, utilisez x→z et z→x pour vos conversions ponctuelles.

Résultats

Les résultats s'afficheront ici.

Formules & rappels

Moyenne : \( \bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i \)

Variance population : \( \sigma^2 = \dfrac{1}{N}\sum (x_i - \bar{x})^2 \), Écart type : \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)

Variance échantillon : \( s^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum (x_i - \bar{x})^2 \), Écart type : \( s = \sqrt{s^2} \)

Z-score (avec σ choisi) : \( z = \dfrac{x - \bar{x}}{\sigma} \)

Si σ = 0 (toutes les valeurs égales), les z-scores ne sont pas définis. Nous l'indiquons sans alarme 😌.

Écart type et z-score, c'est quoi ?

L'écart type mesure la dispersion des données autour de la moyenne. Un σ faible signifie que la plupart des valeurs sont proches de la moyenne ; un σ élevé indique des données plus étalées.

  • Variance population : \( \sigma^2 = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2 \), écart type : \( \sigma=\sqrt{\sigma^2} \)
  • Variance échantillon : \( s^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2 \), écart type : \( s=\sqrt{s^2} \)

Que signifie un z-score ?

Un z-score indique de combien d'écarts types une valeur se situe au-dessus ou au-dessous de la moyenne : \( z = \dfrac{x-\bar{x}}{\sigma} \). Pour une distribution normale, on retrouve la règle 68–95–99,7.

Exemple rapide

Si \( \bar{x}=70 \) et \( \sigma=4 \), alors pour \( x=76 \), \( z=(76-70)/4=1,5 \) — environ le 93e percentile sous un modèle normal.

Population ou échantillon ?

  • σ population (division par N) : utilisez-le quand vous disposez de toute la population.
  • s échantillon (division par N−1) : utilisez-le quand vos données sont un échantillon.

Pièges courants (et comment l'outil aide)

  • Séparateurs mixtes : virgules, espaces, tabulations et retours sont pris en charge. Notation scientifique aussi.
  • Valeurs identiques : si σ = 0, les z-scores n'existent pas (on vous l'explique).
  • Arrondis : changez le nombre de décimales pour présenter vos résultats.
  • Valeurs aberrantes : un |z| élevé suggère des anomalies potentielles.

De z aux percentiles

Associez les z-scores aux percentiles avec la CDF normale (ex. z=0 → 50e, ±1 → 84e/16e, ±2 → 97,5e/2,5e).

5 faits sur l'écart type & les z-scores

σ = 0 rime avec perfection

Si toutes les valeurs sont identiques, σ tombe à zéro. Dans ce cas, impossible de définir des z-scores : il n'y a aucune dispersion.

Pas de variance

Le bruit chute avec √N

L'erreur d'échantillonnage diminue souvent avec 1/√N. Doubler la taille de l'échantillon réduit l'erreur standard d'environ 30 %.

Gain de précision

±2σ n'est pas un mur

Dans une courbe normale, environ 5 % des points se situent au-delà de ±2σ. Les valeurs extrêmes existent naturellement : le contexte décide si elles sont problématiques.

Queue de distribution

Les z-scores s'additionnent

On peut additionner des z-scores indépendants (comme somme quadratique) pour l'incertitude combinée : \(z_\text{total} = \sqrt{z_1^2 + z_2^2}\).

Maths du signal

σ fixe votre règle z

Choisir σ échantillon (N−1) ou σ population (N) change chaque z. Fixez le diviseur avant d'interpréter les scores.

Méthode comptant

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