Standardabweichung & Z-Score — Zahlen einfügen → Mittelwert/σ/z

Formeln & Hinweise

Mittelwert: \( \bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i \)

Varianz Grundgesamtheit: \( \sigma^2 = \dfrac{1}{N}\sum (x_i - \bar{x})^2 \), Standardabweichung: \( \sigma = \sqrt{\sigma^2} \)

Varianz Stichprobe: \( s^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum (x_i - \bar{x})^2 \), Standardabweichung: \( s = \sqrt{s^2} \)

Z-Score (mit gewähltem σ): \( z = \dfrac{x - \bar{x}}{\sigma} \)

Wenn σ = 0 (alle Werte gleich), lassen sich keine Z-Scores berechnen. Wir weisen sanft darauf hin 😌.

Was sind Standardabweichung und Z-Scores?

Die Standardabweichung misst, wie stark Datenwerte um den Mittelwert streuen. Ein kleines σ bedeutet Werte nahe am Mittel, ein großes σ zeigt mehr Streuung.

• Varianz Grundgesamtheit: \( \sigma^2 = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2 \), Standardabweichung: \( \sigma=\sqrt{\sigma^2} \)
• Varianz Stichprobe: \( s^2 = \dfrac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar{x})^2 \), Standardabweichung: \( s=\sqrt{s^2} \)

Was bedeutet ein Z-Score?

Ein Z-Score gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt: \( z = \dfrac{x-\bar{x}}{\sigma} \). Für normalverteilte Daten gilt die 68–95–99,7-Regel.

Schnelles Beispiel

Ist \( \bar{x}=70 \) und \( \sigma=4 \), dann ergibt \( x=76 \) \( z=(76-70)/4=1{,}5 \) — ungefähr das 93. Perzentil unter einer Normalverteilung.

Grundgesamtheit oder Stichprobe?

• σ Grundgesamtheit (durch N): wenn Sie das ganze Kollektiv haben.
• s Stichprobe (durch N−1): wenn Sie nur ein Sample besitzen.

Typische Stolperfallen

• Gemischte Trennzeichen: Kommas, Leerzeichen, Tabs und Zeilenumbrüche funktionieren — auch wissenschaftliche Notation.
• Alle Werte gleich: ist σ = 0, gibt es keine Z-Scores.
• Runden: stellen Sie die Dezimalstellen für saubere Berichte ein.
• Ausreißer: große |z|-Werte weisen oft auf Anomalien hin.

Von z zu Perzentilen

Verknüpfen Sie Z-Scores mit Perzentilen über die Normalverteilungs-CDF (z=0 → 50., ±1 → 84./16., ±2 → 97,5./2,5.).