Calculadora Binomial & Poisson — n,p,k; PMF, CDF, Média e Variância

Entendendo as distribuições Binomial e de Poisson

A distribuição binomial modela o número de “sucessos” em um número fixo de ensaios independentes. Você especifica n (número de ensaios) e p (probabilidade de sucesso em cada ensaio). Se \( X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \), então a probabilidade de exatamente k sucessos é \( P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k} \). O valor esperado e a variância são \( \mathbb{E}[X]=np \) e \( \mathrm{Var}(X)=np(1-p) \). Usos típicos incluem testes de aprovado/reprovado, respostas de pesquisas e controle de qualidade quando o número de tentativas é conhecido de antemão e cada tentativa tem a mesma chance de sucesso.

A distribuição de Poisson modela o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo, distância ou área quando os eventos acontecem de forma independente a uma taxa média constante \( \lambda \) (lambda). Se \( X \sim \mathrm{Pois}(\lambda) \), então \( P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! \), com \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) e \( \mathrm{Var}(X)=\lambda \). É amplamente usada para chegadas (ligações por minuto, pacientes por hora, defeitos por metro) e outros cenários de “contagem por intervalo” nos EUA, Reino Unido, UE, Índia e além.

Quando escolher Binomial vs Poisson

• Use Binomial quando o número de oportunidades é fixo (n conhecido), cada ensaio é independente e a probabilidade de sucesso é constante (p).
• Use Poisson quando você conta eventos em um intervalo contínuo com taxa estável \( \lambda \) e independência entre eventos.
• Conexão: Quando n é grande e p é pequeno com \( \lambda=np \) moderado, Poisson fornece uma aproximação prática do binomial.

Lendo o gráfico e probabilidades de cauda

O gráfico de barras mostra a função de massa de probabilidade (PMF) \(P(X=k)\) para cada inteiro \(k\). Nosso resumo também mostra a função de distribuição acumulada (CDF) \(P(X\le k)\) e a cauda direita \(P(X\ge k)\). Caudas à esquerda são úteis para perguntas como “não mais que k”, enquanto caudas à direita respondem “pelo menos k”. Em educação (GCSE/A-Level, AP/College) e na indústria (QA/QC, call centers, hospitais), probabilidades de cauda ajudam em limiares de decisão, alarmes e garantias de nível de serviço.

Aproximações e dicas práticas

• Aproximação normal (Binomial): Se \(np(1-p)\) for suficientemente grande (regra prática: \(\ge 10\)), \(X\) é frequentemente aproximado por \( \mathcal{N}(np,\;np(1-p)) \). Para maior precisão em contagens discretas, aplique correção de continuidade (ex.: \(k+0.5\)).
• Aproximação normal (Poisson): Para \( \lambda \) grande, \(X\) pode ser aproximado por \( \mathcal{N}(\lambda,\;\lambda) \) com correção de continuidade.
• Taxa vs probabilidade: Em problemas de Poisson, garanta que a taxa \( \lambda \) corresponda ao intervalo analisado (por hora, por dia, por km). Reescale se necessário.

Erros comuns

• Não independência: Se ensaios ou eventos se influenciam, ambos os modelos podem induzir ao erro.
• Probabilidades/taxas variáveis: Se p ou \( \lambda \) variar entre ensaios ou no tempo, considere modelos mais avançados (ex.: binomial negativa para sobredispersão).
• Limites de parâmetros: Binomial exige \(0 \le p \le 1\) e inteiro \(0 \le k \le n\). Poisson exige \( \lambda \ge 0 \) e inteiro \( k \ge 0 \).

Nota: esta calculadora apoia trabalhos acadêmicos e profissionais nos EUA, Reino Unido (modelling/modelling), UE, Índia, Austrália e mais — use-a para estimar taxas de defeitos, chegadas em fila, taxas de aprovação e metas de serviço com visuais PMF/CDF claros.