Calculateur Binomial & Poisson — n,p,k; PMF, CDF, Moyenne & Variance

Comprendre les distributions binomiale et de Poisson

La distribution binomiale modélise le nombre de « succès » dans un nombre fixe d'essais indépendants. Vous spécifiez n (nombre d'essais) et p (probabilité de succès pour chaque essai). Si \( X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \), alors la probabilité d'exactement k succès est \( P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k} \). L'espérance et la variance sont \( \mathbb{E}[X]=np \) et \( \mathrm{Var}(X)=np(1-p) \). Les usages typiques incluent les tests pass/fail, les réponses d'enquête, et le contrôle qualité lorsque le nombre d'essais est connu à l'avance et que chaque essai a la même probabilité de succès.

La distribution de Poisson modélise le nombre d'événements sur un intervalle fixe de temps, distance ou surface lorsque les événements surviennent indépendamment à un taux moyen constant \( \lambda \) (lambda). Si \( X \sim \mathrm{Pois}(\lambda) \), alors \( P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! \), avec \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) et \( \mathrm{Var}(X)=\lambda \). Elle est largement utilisée pour les arrivées (appels par minute, patients par heure, défauts par mètre) et d'autres scénarios de « comptage par intervalle » aux États-Unis, au Royaume-Uni, dans l'UE, en Inde et au-delà.

Quand choisir Binomiale vs Poisson

• Utilisez le binomial lorsque le nombre d'opportunités est fixé (n connu), chaque essai est indépendant et la probabilité de succès est constante (p).
• Utilisez Poisson lorsque vous comptez des événements sur un intervalle continu avec un taux stable \( \lambda \) et une indépendance entre événements.
• Lien : Quand n est grand et p petit avec \( \lambda=np \) modéré, Poisson offre une approximation pratique du binomial.

Lire le graphique et les probabilités de queue

Le graphique en barres montre la fonction de masse de probabilité (PMF) \(P(X=k)\) pour chaque entier \(k\). Notre résumé indique aussi la fonction de répartition (CDF) \(P(X\le k)\) et la queue droite \(P(X\ge k)\). Les queues gauches sont utiles pour des questions comme « pas plus que k », tandis que les queues droites répondent à « au moins k ». Dans l'enseignement (GCSE/A-Level, AP/College) et l'industrie (QA/QC, centres d'appels, hôpitaux), les probabilités de queue aident aux seuils de décision, aux alertes et aux garanties de niveau de service.

Approximations et conseils pratiques

• Approximation normale (binomiale) : Si \(np(1-p)\) est assez grand (règle empirique : \(\ge 10\)), \(X\) est souvent approximé par \( \mathcal{N}(np,\;np(1-p)) \). Pour plus de précision sur les comptes discrets, appliquez une correction de continuité (ex. \(k+0.5\)).
• Approximation normale (Poisson) : Pour \( \lambda \) grand, \(X\) peut être approximé par \( \mathcal{N}(\lambda,\;\lambda) \) avec une correction de continuité.
• Taux vs probabilité : Dans les problèmes de Poisson, assurez-vous que le taux \( \lambda \) correspond à l'intervalle analysé (par heure, par jour, par km). Ajustez si besoin.

Pièges courants

• Non-indépendance : Si les essais ou événements s'influencent, les deux modèles peuvent induire en erreur.
• Probabilités/taux variables : Si p ou \( \lambda \) varie selon les essais ou le temps, envisagez des modèles plus avancés (ex. binomiale négative pour la sur-dispersion).
• Bornes des paramètres : Le binomial exige \(0 \le p \le 1\) et un entier \(0 \le k \le n\). Poisson exige \( \lambda \ge 0 \) et un entier \( k \ge 0 \).

Remarque : ce calculateur soutient les travaux scolaires et professionnels aux États-Unis, au Royaume-Uni (modelling/modelling), dans l'UE, en Inde, en Australie et ailleurs — utilisez-le pour estimer les taux de défauts, les arrivées en file, les taux de réussite et les objectifs de service avec des visuels PMF/CDF clairs.