Calcolatore Binomiale & Poisson — n,p,k; PMF, CDF, Media & Varianza

Comprendere le distribuzioni binomiale e di Poisson

La distribuzione binomiale modella il numero di “successi” in un numero fisso di prove indipendenti. Si specificano n (numero di prove) e p (probabilità di successo per ogni prova). Se \( X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \), allora la probabilità di esattamente k successi è \( P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k} \). Il valore atteso e la varianza sono \( \mathbb{E}[X]=np \) e \( \mathrm{Var}(X)=np(1-p) \). Usi tipici includono test pass/fail, risposte a sondaggi e controllo qualità quando il numero di tentativi è noto in anticipo e ogni tentativo ha la stessa probabilità di successo.

La distribuzione di Poisson modella il numero di eventi che si verificano in un intervallo fisso di tempo, distanza o area quando gli eventi avvengono indipendentemente a un tasso medio costante \( \lambda \) (lambda). Se \( X \sim \mathrm{Pois}(\lambda) \), allora \( P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! \), con \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) e \( \mathrm{Var}(X)=\lambda \). È usata spesso per arrivi (chiamate al minuto, pazienti all'ora, difetti per metro) e altri scenari “conteggio per intervallo” negli USA, nel Regno Unito, nell'UE, in India e oltre.

Quando scegliere Binomiale vs Poisson

• Usa il binomiale quando il numero di opportunità è fisso (n noto), ogni prova è indipendente e la probabilità di successo è costante (p).
• Usa Poisson quando conti eventi su un intervallo continuo con un tasso stabile \( \lambda \) e indipendenza tra eventi.
• Connessione: Quando n è grande e p è piccolo con \( \lambda=np \) moderato, Poisson fornisce una comoda approssimazione del binomiale.

Leggere il grafico e le probabilità di coda

Il grafico a barre mostra la funzione di massa di probabilità (PMF) \(P(X=k)\) per ogni intero \(k\). Il riepilogo riporta anche la funzione di distribuzione cumulativa (CDF) \(P(X\le k)\) e la coda destra \(P(X\ge k)\). Le code sinistre sono utili per domande come “non più di k”, mentre le code destre rispondono a “almeno k”. In ambito educativo (GCSE/A-Level, AP/College) e industriale (QA/QC manifatturiero, call center, ospedali), le probabilità di coda aiutano con soglie decisionali, allarmi e garanzie di livello di servizio.

Approssimazioni e consigli pratici

• Approssimazione normale (Binomiale): Se \(np(1-p)\) è abbastanza grande (regola pratica: \(\ge 10\)), \(X\) è spesso approssimato da \( \mathcal{N}(np,\;np(1-p)) \). Per maggiore precisione sui conteggi discreti, applica una correzione di continuità (ad es. usa \(k+0.5\)).
• Approssimazione normale (Poisson): Per \( \lambda \) grande, \(X\) può essere approssimato da \( \mathcal{N}(\lambda,\;\lambda) \) con una correzione di continuità.
• Tasso vs probabilità: Nei problemi di Poisson, assicurati che il tasso \( \lambda \) corrisponda all'intervallo analizzato (per ora, per giorno, per km). Riscalare se necessario.

Errori comuni

• Non indipendenza: Se prove o eventi si influenzano tra loro, entrambi i modelli possono trarre in inganno.
• Probabilità/tassi variabili: Se p o \( \lambda \) varia tra prove o nel tempo, considera modelli più avanzati (es. binomiale negativa per sovradispersione).
• Vincoli dei parametri: Il binomiale richiede \(0 \le p \le 1\) e intero \(0 \le k \le n\). Poisson richiede \( \lambda \ge 0 \) e intero \( k \ge 0 \).

Nota: questo calcolatore supporta attività di studio e professionali negli USA, nel Regno Unito (modelling/modelling), UE, India, Australia e oltre—usalo per stimare tassi di difetto, arrivi in coda, tassi di superamento e obiettivi di servizio con visuali PMF/CDF chiare.