Calculadora Binomial & Poisson — n,p,k; PMF, CDF, Media y Varianza

Comprender las distribuciones binomial y de Poisson

La distribución binomial modela el número de “éxitos” en un número fijo de ensayos independientes. Se especifican n (número de ensayos) y p (probabilidad de éxito en cada ensayo). Si \( X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \), entonces la probabilidad de exactamente k éxitos es \( P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k} \). El valor esperado y la varianza son \( \mathbb{E}[X]=np \) y \( \mathrm{Var}(X)=np(1-p) \). Usos típicos incluyen pruebas de aprobado/reprobado, respuestas de encuestas y control de calidad cuando el número de intentos se conoce de antemano y cada intento tiene la misma probabilidad de éxito.

La distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo, distancia o área cuando los eventos suceden de forma independiente a una tasa media constante \( \lambda \) (lambda). Si \( X \sim \mathrm{Pois}(\lambda) \), entonces \( P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! \), con \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) y \( \mathrm{Var}(X)=\lambda \). Se usa ampliamente para llegadas (llamadas por minuto, pacientes por hora, defectos por metro) y otros escenarios de “conteo por intervalo” en EE. UU., Reino Unido, UE, India y más.

Cuándo elegir Binomial vs Poisson

• Usa Binomial cuando el número de oportunidades es fijo (n conocido), cada ensayo es independiente y la probabilidad de éxito es constante (p).
• Usa Poisson cuando cuentas eventos en un intervalo continuo con una tasa estable \( \lambda \) y con independencia entre eventos.
• Conexión: Cuando n es grande y p es pequeño con \( \lambda=np \) moderado, Poisson ofrece una aproximación útil al binomial.

Leer el gráfico y las probabilidades de cola

El gráfico de barras muestra la función de masa de probabilidad (PMF) \(P(X=k)\) para cada entero \(k\). Nuestro resumen también muestra la función de distribución acumulada (CDF) \(P(X\le k)\) y la cola derecha \(P(X\ge k)\). Las colas izquierdas son útiles para preguntas como “no más de k”, mientras que las colas derechas responden “al menos k”. En educación (GCSE/A-Level, AP/College) y en industria (QA/QC, centros de llamadas, hospitales), las probabilidades de cola ayudan con umbrales de decisión, alarmas y garantías de nivel de servicio.

Aproximaciones y consejos prácticos

• Aproximación normal (Binomial): Si \(np(1-p)\) es lo suficientemente grande (regla práctica: \(\ge 10\)), \(X\) suele aproximarse por \( \mathcal{N}(np,\;np(1-p)) \). Para mayor precisión en conteos discretos, aplica una corrección de continuidad (p. ej., \(k+0.5\)).
• Aproximación normal (Poisson): Para \( \lambda \) grande, \(X\) puede aproximarse por \( \mathcal{N}(\lambda,\;\lambda) \) con corrección de continuidad.
• Tasa vs probabilidad: En problemas de Poisson, asegúrate de que la tasa \( \lambda \) coincida con el intervalo analizado (por hora, por día, por km). Reescala si es necesario.

Errores comunes

• No independencia: Si los ensayos o eventos se influyen entre sí, ambos modelos pueden inducir a error.
• Probabilidades/tasas variables: Si p o \( \lambda \) varía entre ensayos o en el tiempo, considera modelos más avanzados (p. ej., binomial negativa para sobredispersión).
• Límites de parámetros: Binomial requiere \(0 \le p \le 1\) y entero \(0 \le k \le n\). Poisson requiere \( \lambda \ge 0 \) y entero \( k \ge 0 \).

Nota: esta calculadora apoya trabajos académicos y profesionales en EE. UU., Reino Unido (modelling/modelling), UE, India, Australia y más—úsala para estimar tasas de defectos, llegadas en cola, tasas de aprobación y objetivos de servicio con visuales PMF/CDF claros.