Binomial- & Poisson-Rechner — n,p,k; PMF, CDF, Mittelwert & Varianz

Binomial- und Poisson-Verteilungen verstehen

Die Binomialverteilung modelliert die Anzahl der „Erfolge“ in einer festen Zahl unabhängiger Versuche. Sie geben n (Anzahl der Versuche) und p (Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch) an. Wenn \( X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \), dann ist die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge \( P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{\,n-k} \). Erwartungswert und Varianz sind \( \mathbb{E}[X]=np \) und \( \mathrm{Var}(X)=np(1-p) \). Typische Anwendungen sind Pass/Fail-Tests, Umfrageantworten und Qualitätskontrolle, wenn die Anzahl der Versuche im Voraus bekannt ist und jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat.

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeit-, Distanz- oder Flächenintervall, wenn Ereignisse unabhängig mit konstanter mittlerer Rate \( \lambda \) (lambda) auftreten. Wenn \( X \sim \mathrm{Pois}(\lambda) \), dann gilt \( P(X=k)=e^{-\lambda}\lambda^k/k! \), mit \( \mathbb{E}[X]=\lambda \) und \( \mathrm{Var}(X)=\lambda \). Sie wird häufig für Ankünfte (Anrufe pro Minute, Patienten pro Stunde, Fehler pro Meter) und andere „Zählungen pro Intervall“ in den USA, UK, der EU, Indien und darüber hinaus verwendet.

Wann Binomial vs. Poisson wählen

• Binomial verwenden, wenn die Anzahl der Möglichkeiten fest ist (n bekannt), jeder Versuch unabhängig ist und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant ist (p).
• Poisson verwenden, wenn Sie Ereignisse über ein kontinuierliches Intervall mit stabiler Rate \( \lambda \) und Unabhängigkeit zwischen Ereignissen zählen.
• Zusammenhang: Wenn n groß und p klein ist und \( \lambda=np \) moderat, liefert Poisson eine praktische Approximation des Binomials.

Grafik lesen und Schwanzwahrscheinlichkeiten

Das Balkendiagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) \(P(X=k)\) für jede ganze Zahl \(k\). Unsere Zusammenfassung enthält außerdem die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) \(P(X\le k)\) und den rechten Schwanz \(P(X\ge k)\). Linke Schwänze sind nützlich für Fragen wie „nicht mehr als k“, während rechte Schwänze „mindestens k“ beantworten. In der Bildung (GCSE/A-Level, AP/College) und in der Industrie (QA/QC, Callcenter, Krankenhäuser) helfen Schwanzwahrscheinlichkeiten bei Entscheidungsgrenzen, Alarmen und Service-Level-Garantien.

Approximationen & praktische Tipps

• Normalapproximation (Binomial): Wenn \(np(1-p)\) hinreichend groß ist (Faustregel: \(\ge 10\)), \(X\) wird häufig durch \( \mathcal{N}(np,\;np(1-p)) \) approximiert. Für bessere Genauigkeit bei diskreten Zählungen eine Kontinuitätskorrektur anwenden (z. B. \(k+0.5\)).
• Normalapproximation (Poisson): Für \( \lambda \) groß kann \(X\) durch \( \mathcal{N}(\lambda,\;\lambda) \) mit Kontinuitätskorrektur approximiert werden.
• Rate vs. Wahrscheinlichkeit: In Poisson-Aufgaben sicherstellen, dass die Rate \( \lambda \) zum analysierten Intervall passt (pro Stunde, pro Tag, pro km). Bei Bedarf skalieren.

Häufige Fallstricke

• Nicht-Unabhängigkeit: Wenn Versuche oder Ereignisse sich gegenseitig beeinflussen, können beide Modelle irreführen.
• Ändernde Wahrscheinlichkeiten/Raten: Wenn p oder \( \lambda \) über Versuche oder Zeit variiert, erwägen Sie fortgeschrittene Modelle (z. B. negative Binomialverteilung bei Überdispersion).
• Parametergrenzen: Binomial erfordert \(0 \le p \le 1\) und ganze Zahlen \(0 \le k \le n\). Poisson erfordert \( \lambda \ge 0 \) und ganze Zahlen \( k \ge 0 \).

Hinweis: Dieser Rechner unterstützt Studium und Beruf in den USA, UK (modelling/modelling), der EU, Indien, Australien und mehr — verwenden Sie ihn, um Fehlerquoten, Ankünfte in Warteschlangen, Bestehensquoten und Serviceziele mit klaren PMF/CDF-Visuals zu schätzen.