Calcolatore di equazioni quadratiche — Risolvi ax² + bx + c = 0

Soluzioni immediate con passaggi, discriminante e radici esatte/decimali. Privato per impostazione: tutto gira localmente nel browser.

Coefficienti e azioni

Suggerimenti: Ctrl/Cmd + K mette a fuoco a. Ctrl/Cmd + Invio risolve di nuovo.

Soluzione

Risultato: Inserisci a, b, c e fai clic su “Risolvi equazione”.

Passaggi di calcolo

I passaggi appariranno qui.

Capire le equazioni quadratiche

Un’equazione quadratica è qualsiasi equazione che può essere scritta nella forma ax² + bx + c = 0 dove a, b e c sono numeri reali e a ≠ 0. Le quadratiche compaiono ovunque: moto dei proiettili, problemi di ottimizzazione, quesiti di area/geometria e molti modelli in scienza e ingegneria.

La formula quadratica

Ogni quadratica può essere risolta con la formula quadratica:

x = [-b ± √(b2 - 4ac)] / (2a)

L’espressione sotto la radice, b² − 4ac, si chiama discriminante (Δ). Determina la natura delle radici:

  • Se Δ > 0 → due radici reali distinte.
  • Se Δ = 0 → una radice reale doppia.
  • Se Δ < 0 → due radici complesse coniugate.

Come usare questo calcolatore

  1. Inserisci i coefficienti a, b e c per ax² + bx + c = 0.
  2. Fai clic su Risolvi equazione per calcolare discriminante e radici.
  3. Rivedi i passaggi per vedere sostituzioni, Δ e soluzioni finali.

Tutto gira lato client nel browser, quindi i tuoi input non lasciano mai il dispositivo.

Esempio svolto

Supponiamo a = 1, b = −3, c = 2. Allora Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1. Poiché Δ > 0, ci sono due radici reali:

x1 = [−(−3) + √1] / (2·1) = (3 + 1) / 2 = 2
x2 = [−(−3) − √1] / (2·1) = (3 − 1) / 2 = 1

Errori comuni da evitare

  • Dimenticare che a non deve essere zero; se a = 0, l’equazione è lineare.
  • Omettere il segno ± e calcolare una sola radice.
  • Gestire male il quadrato di un numero negativo (ad es., (−b)² = b², non −b²).
  • Non semplificare le frazioni alla fine (dividi l’intero numeratore per 2a).

5 curiosità sulle quadratiche

La formula è antica

Le tavolette babilonesi (circa 2000 a.C.) contenevano già ricette quadratiche, molto prima dell’algebra simbolica o della lettera “x”.

Storia della matematica

Vertice a −b/2a

Il picco o minimo della parabola è in x = −b/(2a). Una divisione rapida rivela simmetria e asse della curva.

Scorciatoia grafica

Somma e prodotto delle radici

Per radici r₁, r₂: r₁ + r₂ = −b/a e r₁·r₂ = c/a. Le formule di Viète aiutano a verificare senza risolvere di nuovo.

Controllo rapido

Il completamento del quadrato nasce qui

La formula quadratica deriva dal completamento del quadrato, lo stesso passaggio che trasforma ax²+bx+c in forma vertice.

Collegamento alla derivazione

Le radici complesse sono gemelle

Quando Δ < 0, le radici arrivano in coppie coniugate \(p \pm qi\). Le parti reali sommano ancora a −b/a e il prodotto è c/a.

Regole di simmetria

Equazione quadratica: FAQ

Che cos'è la formula quadratica?

x = [-b ± √(b² − 4ac)] / (2a). Risolve ax² + bx + c = 0 per x quando a ≠ 0.

Cosa mi dice il discriminante (Δ)?

Δ = b² − 4ac. Se Δ > 0: due radici reali; Δ = 0: una radice reale doppia; Δ < 0: due radici complesse.

Questo calcolatore può mostrare radici complesse?

Sì. Quando Δ < 0, le radici sono mostrate in forma a ± bi (parte reale e immaginaria).

I miei dati sono privati?

Sì. Tutti i calcoli avvengono localmente nel browser; nessun dato viene caricato.

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