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Quadratische-Gleichung-Rechner — Löse ax² + bx + c = 0

Sofortige Lösungen mit Schritten, Diskriminante und exakten/dezimalen Wurzeln. Privat per Design – alles läuft lokal in deinem Browser.

Koeffizienten & Aktionen

Tipps: Ctrl/Cmd + K fokussiert a. Ctrl/Cmd + Enter löst erneut.

Lösung

Ergebnis: Gib a, b, c ein und klicke auf „Gleichung lösen“.

Rechenschritte

Schritte erscheinen hier.

Quadratische Gleichungen verstehen

Eine quadratische Gleichung ist jede Gleichung, die in der Form ax² + bx + c = 0 geschrieben werden kann, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und a ≠ 0. Quadratische Gleichungen tauchen überall auf: bei Wurfbewegungen, Optimierungsproblemen, Flächen- und Geometrieaufgaben sowie bei vielen Modellierungsaufgaben in Naturwissenschaft und Technik.

Die quadratische Formel

Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der quadratischen Formel lösen:

x = [-b ± √(b2 - 4ac)] / (2a)

Der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac, heißt Diskriminante (Δ). Sie bestimmt die Art der Wurzeln:

  • Wenn Δ > 0 → zwei verschiedene reelle Wurzeln.
  • Wenn Δ = 0 → eine doppelte reelle Wurzel.
  • Wenn Δ < 0 → zwei komplex konjugierte Wurzeln.

So benutzt du diesen Rechner

  1. Gib die Koeffizienten a, b und c für ax² + bx + c = 0 ein.
  2. Klicke auf Gleichung lösen, um Diskriminante und Wurzeln zu berechnen.
  3. Sieh dir die Schritt-für-Schritt-Rechnung an, um Einsetzungen, Δ und die Endlösungen zu verstehen.

Alles läuft clientseitig im Browser, daher verlassen deine Eingaben nie dein Gerät.

Rechenbeispiel

Angenommen a = 1, b = −3, c = 2. Dann ist Δ = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1. Da Δ > 0, gibt es zwei reelle Wurzeln:

x1 = [−(−3) + √1] / (2·1) = (3 + 1) / 2 = 2
x2 = [−(−3) − √1] / (2·1) = (3 − 1) / 2 = 1

Häufige Fehler vermeiden

  • Vergessen, dass a nicht null sein darf; bei a = 0 ist die Gleichung linear.
  • Das ±-Zeichen weglassen und nur eine Wurzel berechnen.
  • Das Quadrat einer negativen Zahl falsch behandeln (z. B. (−b)² = b², nicht −b²).
  • Am Ende Brüche nicht vereinfachen (den gesamten Zähler durch 2a teilen).

5 Fun Facts zu Quadratischen Gleichungen

Die Formel ist uralt

Babylonische Tontafeln (ca. 2000 v. Chr.) kannten bereits quadratische Rezepte – lange vor symbolischer Algebra oder dem Buchstaben „x“.

Mathe-Geschichte

Scheitelpunkt bei −b/2a

Der Hoch- oder Tiefpunkt der Parabel liegt bei x = −b/(2a). Eine schnelle Division zeigt Symmetrie und Achse der Kurve.

Grafik-Kniff

Summe & Produkt der Wurzeln

Für Wurzeln r₁, r₂ gilt: r₁ + r₂ = −b/a und r₁·r₂ = c/a. Vieta-Formeln ermöglichen einen schnellen Plausibilitätscheck.

Plausibilitätscheck

Quadratisch ergänzen entsteht hier

Die quadratische Formel entsteht durch quadratisches Ergänzen – derselbe Schritt, der ax²+bx+c in die Scheitelform bringt.

Herleitung

Komplexe Wurzeln sind Zwillinge

Wenn Δ < 0, treten Wurzeln als konjugierte Paare \(p \pm qi\) auf. Ihre Realteile summieren sich weiter zu −b/a und multiplizieren sich zu c/a.

Symmetrie-Regel

Quadratische Gleichung: FAQs

Was ist die quadratische Formel?

x = [-b ± √(b² − 4ac)] / (2a). Sie löst ax² + bx + c = 0 nach x, wenn a ≠ 0.

Was sagt mir die Diskriminante (Δ)?

Δ = b² − 4ac. Wenn Δ > 0: zwei reelle Wurzeln; Δ = 0: eine doppelte reelle Wurzel; Δ < 0: zwei komplexe Wurzeln.

Kann der Rechner komplexe Wurzeln anzeigen?

Ja. Wenn Δ < 0, werden die Wurzeln in der Form a ± bi angezeigt (Real- und Imaginärteil).

Sind meine Daten privat?

Ja. Alle Berechnungen laufen lokal im Browser; es werden keine Daten hochgeladen.

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