Kreuzmultiplizieren ist Symmetrie
Wenn \(a/b = c/d\), dann gilt \(ad = bc\). Das „X“-Muster entfernt nur die Nenner — Algebra als Waage.
Waage-Trick
Proportionsrechner — a:b = c:d lösen
Wann man eine Proportion nutzt (und nicht nur ein Verhältnis)
- Kreuzmultipliziere a:b = c:d, um den fehlenden Term mit einer Gleichheit zweier Verhältnisse zu finden.
- Prüfe ad vs bc, um sicherzustellen, dass die Proportion nach dem Skalieren von Rezepten, Karten oder Mischungen stimmt.
- Nur direkte Proportion: dieses Tool fokussiert gemeinsames Skalieren (inverse Proportion braucht ein anderes Modell).
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Ergebnis
- Gelöster Wert:
- Ergebnisse erscheinen hier.
- Links gekürzt (a:b):
- —
- Rechts gekürzt (c:d):
- —
- Prüfung (ad vs bc):
- —
So liest man das Diagramm
Denk dir jede Seite als kleinen Bruch:
\( \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)
Wenn ein Feld leer ist, nutzen wir die Kreuzmultiplikation (\( a\cdot d = b\cdot c \)) und lösen den fehlenden Wert.
Was sind Proportionen?
Eine Proportion ist die Aussage, dass zwei Verhältnisse gleich sind. In der Mathematik schreibt man das oft so:
\( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \)
Das bedeutet, dass die Beziehung zwischen a und b dieselbe ist wie die zwischen c und d. Fehlt einer der vier Werte, lässt er sich mit einer einfachen Technik finden: der Kreuzmultiplikation.
Kreuzmultiplikation erklärt
Um eine Proportion zu lösen, multipliziert man diagonal über das Gleichheitszeichen:
\( a \cdot d = b \cdot c \)
Diese Gleichung erlaubt es, den fehlenden Wert zu finden. Wenn wir wissen, dass \( \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{?} \), liefert die Kreuzmultiplikation \( 2 \cdot ? = 3 \cdot 4 \). Teilt man beide Seiten durch 2, ist der fehlende Wert 6.
Proportionen im Alltag
Proportionen sind mehr als abstrakte Matheaufgaben — sie sind Werkzeuge für den Alltag. Rezepte sind ein klares Beispiel: Wenn ein Kuchenrezept für 4 reicht, du aber 8 brauchst, verdoppelst du jede Zutat über Proportionen. Karten und Maßstabszeichnungen sind ein weiterer Klassiker: Das Verhältnis von Papierstrecke zur realen Strecke ist eine Proportion. Auch Umrechnungen von Einheiten (z. B. Zoll in Zentimeter) und sogar Wahrscheinlichkeitsaufgaben nutzen proportionalen Gedanken.
Warum Proportionen wichtig sind
Proportionen fördern Zahlverständnis und Problemlösekompetenz. Sie verbinden Brüche, Verhältnisse und Algebra auf natürliche Weise. Wer Proportionen beherrscht, kann Textaufgaben sicherer lösen, Größen vergleichen und Muster in Daten erkennen. Ob du ein Rezept skalierst, eine Karte liest oder wissenschaftliche Daten interpretierst — Proportionen helfen, Genauigkeit und Fairness zu sichern.
5 spannende Fakten zu Proportionen
Direkt vs invers
Manche Beziehungen wachsen gemeinsam (direkt), andere kehren sich um (invers: \(x \propto 1/y\)). Das richtige Modell verhindert Fehlinterpretationen.
Richtige Art wählen
Karten sind Proportionen
Eine Karte im Maßstab 1:50.000 bedeutet: 1 cm entspricht 50.000 cm in der Realität (500 m). Jede Legende ist eine Proportion.
Maßstab überall
Mischen in „Teilen“
1:3 Sirup zu Soda funktioniert mit beliebigen Einheiten — Löffel oder Liter. Proportionen lösen dich von festen Einheiten.
Einheitenfreiheit
Mit Produkten prüfen
Um A:B = C:D zu prüfen, vergleiche AD und BC. Eine schnelle Multiplikation findet Tippfehler vor dem Skalieren.
Schnellcheck
FAQ zu Proportionen
Was bedeutet a:b = c:d?
Es sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Kreuzmultiplikation ergibt a×d = b×c — genau das zeigt der Rechner.
Welche Werte dürfen null sein?
b und d dürfen nicht null sein (sie sind Nenner). a oder c dürfen null sein, solange die Proportion gilt.
Direkte vs. inverse Proportion?
Direkte Proportion skaliert gemeinsam (y ∝ x) und passt zu a:b = c:d. Inverse Proportion kehrt sich um (y ∝ 1/x) und braucht eine andere Form.
Vereinfacht es Verhältnisse?
Ja. Es teilt jede Seite durch den größten gemeinsamen Teiler (ggT), um die einfachsten äquivalenten Verhältnisse zu zeigen.