Logarithmus-Rechner — ln, log₁₀, log₂ und jede Basis

Was dieser Rechner verwendet

• Basiswechsel: \(\log_b(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(b)}\) (mit \(x>0\), \(b>0\), \(b\neq 1\)).
• Antilog: Wenn \(y=\log_b(x)\), dann \(x=b^y\).
• Häufige Logs: \(\log_{10}(x)=\ln(x)/\ln(10)\), \(\log_2(x)=\ln(x)/\ln(2)\).

Logarithmen erklärt (ln, log₁₀, log₂ und Logarithmus zur Basis b)

Logarithmen helfen Ihnen, „Exponent-Fragen“ schnell zu lösen. Wenn Sie die Basis und das Ergebnis kennen, liefert ein Logarithmus die fehlende Potenz. In Symbolen bedeutet \(\log_b(x)=y\), dass \(b^y=x\). Dieser Rechner macht das für Alltagszahlen leicht, indem er den natürlichen Logarithmus \(\ln(x)\), den gemeinen Logarithmus \(\log_{10}(x)\), den binären Logarithmus \(\log_{2}(x)\) und jede gewählte Basis berechnet.

Was ein Logarithmus in einfachen Worten bedeutet

Stellen Sie sich eine Basis \(b\) als „Schrittweite“ vor und den Logarithmus als die Anzahl der Schritte, die nötig sind, um \(x\) zu erreichen. Da Logs die Umkehrung der Exponentiation sind, eignen sie sich perfekt zum Rückgängigmachen von Wachstum, zum Vergleichen von Skalen oder zum Umrechnen zwischen Potenzen. Für reelle Ergebnisse muss der Input positiv sein (\(x>0\)), und die Basis muss positiv und ungleich 1 sein. Wenn \(x\) zwischen 0 und 1 liegt, ist der Logarithmus negativ – das bedeutet einfach, dass nur ein Bruchteil eines Schritts nötig ist, um diesen kleineren Wert zu erreichen.

Dieses Tool nutzt den Basiswechsel \(\log_b(x)=\ln(x)/\ln(b)\), sodass jede Basis funktioniert, auch wenn Sie nur \(\ln\) oder \(\log_{10}\) kennen. Es zeigt auch den Antilog, der schnell bestätigt, dass der berechnete Logarithmus wieder die Ausgangszahl ergibt.

So verwenden Sie den Logarithmus-Rechner

1. Geben Sie Ihre Zahl \(x\) ein (zum Beispiel 250, 0.0042 oder 3.2e-7).
2. Wählen Sie eine Basis: natürlicher Log (Basis \(e\)), Basis 10, Basis 2 oder wählen Sie „eigene Basis“, um Ihr \(b\) einzugeben.
3. Wählen Sie die gewünschte Dezimalgenauigkeit.
4. Klicken Sie auf Berechnen, um \(\log_b(x)\) sowie \(\ln(x)\), \(\log_{10}(x)\), \(\log_{2}(x)\) und den Antilog \(b^y\) zu sehen.

Warum Logs in der Praxis nützlich sind

Viele Messungen beruhen auf einer logarithmischen Skala, weil sie riesige Bereiche abdecken. Schallpegel in Dezibel vergleichen Leistungsverhältnisse mit \(\log_{10}\), Säuregrad wird mit pH gemessen (ebenfalls ein Log zur Basis 10) und die Informationstheorie nutzt \(\log_{2}\), um die Bits für eine Anzahl von Ergebnissen zu zählen. In Finanzen und Wissenschaft vereinfachen Logarithmen exponentielles Wachstum oder Abklingen, sodass Sie nach Zeit, Raten oder Multiplikatoren auflösen können. Als schnelle Intuition: Jede 10×-Änderung in einem Log zur Basis 10 verschiebt den Wert genau um 1 – das macht Vergleiche schnell und aussagekräftig.

Schnelle Checks für mehr Sicherheit

• \(\log_b(1)=0\) und \(\log_b(b)=1\).
• Wenn \(x>1\), ist der Logarithmus positiv; wenn \(0<x<1\), ist er negativ.
• Die Basis zu ändern verändert die Zahl, aber die Beziehung \(b^y=x\) bleibt gleich.